OSNOVNOŠKOLSKA    MATEMATIKA

/1/ Prirodni brojevi ( skup N, zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje)

/2/ Djeljivost prirodnih brojeva (višekratnici, prosti i složeni brojevi,                                                             pravila djeljivosti s brojevima 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10)

/3/ Skupovi točaka u ravnini (dužina, pravac, kružnica i krug, mjerne jedinice, trokut)

/4/ Razlomci

/5/ Decimalni brojevi

/6/ Kut (vrste, mjerenje, susjedni i vršni kutovi)

/1/ Operacije s razlomcima (mješoviti broj, recipročni razlomak)

/2/ Trokut (vrste, zbroj kutova, konstrukcije, površina, sukladnost)

/3/ Cijeli brojevi (skup Z, pozitivni i negativni brojevi, apsolutna vrijednost)

/4/ Racionalni brojevi (skup Q, razlomci i decimalni brojevi, dvojni razlomci)

/5/ Linearne jednadžbe i nejednadžbe s jednom nepoznanicom    

/6/ Četverokut (kvadrat, pravokutnik, paralelogram, trapez, dijagonale)

/1/ Koordinatni sustav u ravnini (brojevni pravac, apscisa – os x, ordinata – os y,

                                                             kvadranti,  uređeni par)

/2/ Proporcionalnost i obrnuta proporcionalnost (razmjerne veličine, postotak,

                                                                                              jednostavni kamatni račun)

/3/ Mnogokuti (pravilni mnogokuti, dijeljenje dužine na dijelove jednakih duljina,

                            sličnost trokuta)

/4/ Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice (metoda supstitucije,                                                                                                 metoda suprotnih koeficijenata)

/5/ Linerana funkcija (funkcija – pridruživanje, graf linearne funcije – pravac)

/6/ Kružnica i krug (kružni luk, središnji i obodni kut, Talesov poučak, opseg i površina)

/1/ Kvadriranje i korjenovanje (kvadrat zbroja, kvadrat razlike, razlika kvadrata,

                                                           potencije, drugi korijen, racionaliziranje nazivnika)

/2/ Pitagorin poučak (pravokutni trokut, a² + b² = c²)

/3/ Realni brojevi (racionalni i iracionalni brojevi, skup R)

/4/ Preslikavanje ravnine (vektori, zbrajanje i oduzimanje vektora, translacija, osna

                                                   simetrija, centralna simetrija, rotacija)

/5/ Točke, pravci i ravnine u prostoru (međusobni položaji pravaca i ravnina,

                                                                        ortogonalna projekcija)

/6/ Geometrijska tijela (uglata: prizme i piramide; obla: valjak, stožac i kugla,

                                              plošna i prostorna dijagonala, oplošje i volumen)

N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }                 N₀ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... }

Parni brojevi   0, 2, 4, 6, 8, 10...              Neparni brojevi  1, 3, 5, 7, 9, 11...

ZBRAJANJE           2+3 = 5  prvi pribrojnik, drugi pribrojnik, zbroj (suma)

ODUZIMANJE       5-2 = 3   umanjenik, umanjitelj, razlika (diferencija)

MNOŽENJE            2•3 = 6    prvi faktor, drugi faktor, produkt (umnožak)

DIJELJENJE           6:2 = 3    djeljenik, djelitelj, količnik (kvocijent)

U izrazu u kojem je zastupljeno više računskih operacija prvo vršimo množenje i dijeljnje, a zatim zbrajanje i oduzimanje.

Izraz u kojemu se pojavljuju zagrade rješavamo tako da prvo rješavamo okruglu zagradu ( ), pa uglatu [ ] i na kraju vitičastu { }.

Djeljivost prirodnih brojeva:

/1/ broj je djeljiv s 2, ako mu je zadnja znamenka paran broj

/2/ broj je djeljiv s 3, ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3

/3/ broj je djeljiv s 4 , ako mu je dvoznamenkasti završetak djeljiv s 4

/4/ broj je djeljiv s 5 , ako mu je posljednja znamenka 0 ili 5

/5/ broj je djeljiv sa 6, ako je djeljv i s 2 i s 3

/6/ broj je djeljiv s 8, ako mu je troznamenkasti završetak djeljiv s 8

/7/ broj je djeljiv s 9, ako mu je zboj znamenaka djeljiv s 9

/8/ broj je djeljiv s 10, ako mu je posljednja znamenka 0

PROST ili PRIM BROJ – broj koji je djeljiv samo s 1 i samim sobom (ima dva djelitelja)

                                              2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41...

SLOŽENI BROJ – broj koji ima tri ili više djelitelja

Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... }   negativni brojevi, 0, pozitivni brojevi

Apsolutna vrijednost – udaljenost nekog broja od 0

Zbrajanje i oduzimanje: (1) jednaki predznaci: predznak prepisati, brojeve zbrojiti

                                                    8 + 6 = 14           – 5 – 9 = – 14

                                           (2) različiti predznaci: predznak od ''većeg'', brojeve oduzeti

                                                     7 – 15 = – 8      – 8 + 3 = – 5        – 8 + 20 = 12

Množenje i dijeljenje: produkt i kvocijent dva cijela broja je pozitivan, ako su im

                                       predznaci isti, a negativan, ako su predznaci različiti

Q – skup brojeva koji se mogu napisati u obliku razomka (razlomci, konačni decimalni

       brojevi i beskonačni periodični decimalni brojevi)

Razlomak: brojnik, razlomačka crta (dijeljenje), nazivnik

Svaki razlomak možemo napisati u obliku decimalnog broja tako da brojnik podijelimo s nazivnikom.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka: svođenje na zajednički nazivnik

Množenje razlomaka: pomnožimo brojnik s brojnikom, nazivnik s nazivnikom (kraćenje)

Dijeljenje razlomaka: prvi razlomak pomnožimo recipročnom vrijednošću drugog 

                                    razlomka

R = Q U I    (skup realnih brojeva čine racionalni brojevi Q i iracionalni brojevi I)

I – skup iracionalnih brojeva (beskonačni neperiodični decimalni brojevi)  π, √2, √3, √5...

Točka – osnovni pojam geometrije, ne definira se, element bilo kojeg prostora

Ravnina – jedan od osnovnih pojmova geometrije, ne definira se, predočava se kao ravna

                  neomeđena ploha

Pravac – ravna neomeđena crta

Polupravac – ravna crta omeđena s jedne strane

Dužina – najkraća spojnica dviju točaka (rubne točke)

Kut – dio ravnine omeđen dvama polupravcima koji imaju zajedničku početnu točku

Mjerna jedinica: kutni stupanj, kutna minuta, kutna sekunda  1⁰=60', 1'= 60 '', 1⁰ = 3600''

šiljasti – pravi – tupi – puni – izbočeni – puni

Trokut – dio ravnine omeđen trima dužinama

Podjela prema duljini stranica: jednakostranični, jednakokračni, raznostranični

Podjela prema veličini kutova: šiljastokutni, pravokutni, tupokutni

Zbroj unutarnjih kutova α + β + γ = 180⁰       Zbroj vanjskih kutova  α' + β' + γ' = 360⁰

Četiri karakteristčne točke trokuta:

*1* središte trokutu opisane kružnice – sjecište simetrala stranica trokuta

*2* središte trokutu upisane kružnice – sjecište simetrala kuta trokuta

*3* težište trokuta – sjecište težišnica (dužina kojoj je jedna krajnja točka vrh trokuta, a

                                                                  druga polovište nasuprotne stranice trokuta)

*4* ortocentar – sjecište visina (najkraća spojnica vrha trokuta i pravca koji sadrži

                                                   nasuprotnu stranicu, okomica iz vrha na suprotnu stranicu)

Linearna jednadžba – jednadžba ax + b = 0

Rješavanje linearne jednadžbe: (1) ako su u jednadžbi zagrade prvo rješavamo prema redoslijedu zagrade (okrugla, uglata pa vitičasta), (2) ako su u jednadžbi razlomci sve članove jednadžbe pomnožimo najmanjim zajedničkim nazivnikom, (3) članove jednadžbe s nepoznanicom prenosimo na lijevu stranu jednakosti, a poznate članove na desnu stranu: pri prenošenju članova s jedne strane jednakosti na drugu mijenjamo im predznak, (4) izračunamo članove i na lijevoj i na desnoj strani, (5) jednadžbu podijelimo koeficijentom uz nepoznanicu, (6) na kraju načinimo provjeru.

         Linerna nejednadžba – lijeva i desna strana nejednadžbe povezane su znakom nejednakosti (<, >, £, ³)

         Rješavanje linearne nejednadžbe - sve jednako kao kod jednadžbe, s jednim dodatkom: ako nejednadžbu dijelimo ili množimo s negativnim brojem tada se znak > mijenja u znak >, a znak > u znak <.

Četverokut – dio ravnine omeđen s četiri dužine

paralelogram – pravokutnik – kvadrat – romb – trapez – deltoid

Brojevni pravac: ishodište 0, jedinična točka 1 (desno od ishodišta su pozitivni brojevi,

                                                                                 lijevo od ishodišta su negativni brojevi)

Koordinatni sustav u ravnini: ishodište, koordinatne osi (apscisa ili os x, ordinata ili os y),                                                  kvadranti, uređeni par (x,y)

Metoda supstitucije (zamjene)

Metoda suprotnih koeficijenata

Funkcija (priduživanje, preslikavanje) – jedan od najvažnijih matematičkih pojmova, zadana je skupom s kojega djeluje (domena), skupom u kojem prima vrijednosti (kodomena) i pravilom po kojemu djeluju

Lineana funkcija f(x) = ax + b . Graf linearne funkcije je pravac.

Primjenjuje se za pravokutni trokut (najdulja stranica je hipotenuza, kraće su katete).

Pitagorin poučak: zbroj kvadrata duljina kateta jednak je kvadratu duljine hipotenuze.

a² + b² = c²

Vektor – usmjerena dužina (smjer, orijentacija, duljina), zbrajanje i oduzimanje vektora

translacija (pomak) * osna simetrija (zrcaljenje) * centralna simetrija * rotacija (vrtnja)

Geometrijska tijela – omeđeni dijelovi prostora

Podjela: uglata (poliedri, prizme i piramide)

               obla (valjak, stožac, kugla)

* baza (osnovica) * pobočje (plašt) * plošna dijagonala * prostorna dijagonala *

Oplošje geometrijskog tijela je zbroj površina svih njegovih strana.

Volumen (obujam) geometrijskog tijela je veličina prostora što ga to tijelo zauzima, broj

                                mjernih kubičnih jedinica koje to tijelo sadrži.

J  α  β  g  π  Î  Ï  ^  ||  º  »  @  ¥  £  ±  ¹  %  J

1. (13 + 5) · 8 =   2. (2 + 17 · 5) · (8 – 2 · 3) =   3. 2[7 + 4 · (13 · 6 – 18 :2 )] =

4. (41 – 3 · 7) · [ 6 (184 – 32 · 2) – 2 (501 – 17 · 23)] =

5. 3 + 2 { 3 [ 8 ( 19 · 21 – 36 · 11) – 23 ] } =

6. 14 + 9 { 23 [ 15 ( 14 · 19 – 16 · 13) + 24 ] – 129 · 118 } =

7. Rastavi na proste faktore: (a) 48, (b) 66, (c) 1422, (d) 1985, (e) 9 800.

8. Koji od navedenih brojeva su djeljivi s 9: 63, 79, 99, 109, 207, 12348, 19998 ?

9. Koji od navedenih brojeva su djeljivi s 3: 135, 222, 589, 3232, 111 111 ?

10. Napiši tri šesteroznamenkasta broja koji su djeljivi sa 6.

11. Zbroj dvaju prostih brojeva iznosi 36. Koji su to brojevi ? (postoji 4 rješenja)

12. Branko piše pismo jednom prijatelju svakih 12 dana, drugom svakih 15 dana, a trećem svakih 20 dana. Ako je danas poslao sva tri pisma, za koliko će dana istodobno opet poslati sva tri pisma zajedno ?

1. – 15 + 27 – 3 – 11 + 2 =  

2. 7 – 9 + 6 – 3 – 1  =  

3. – 9 – (– 12)  + (– 8) – 34 =

4. – 2 · ( - 5) – 3 – ( + 4) · (- 2) =   

5. 54 – 48 : 6 + 6 · 9 – 3 · (- 8) · (- 2) =

6. Napiši apsolutne vrijednosti brojeva: (a) 4, (b) – 9, (c) 9831, (d) – 128, (e) 0, (f) 843.

7. Izračunaj: (a) – 7 – 2 =   (b) – 125 + 386 =   (c) – 7 + 3 )    (d) – 98 – 9876 =

8. Pomnoži: (a) – 7 · ( - 6) =   (b) 9 · ( - 86) =   (c) – 98 · 89 =

9. Zbroju brojeva – 3 i 2 dodaj zbroj brojeva – 8 i – 2.

10. Za koje cijele brojeve x vrijedi – 4 £ x < 3.

11. Od zbroja brojeva  7 i - 9 oduzmi razliku 4 i 6.

(1) Riješi jednadžbe: /a/ 2x + 1 = 5,   /b/ 2 – 3x = - 4,   /c/ 5 – 0.2x = - 13.

(2) Riješi jednadžbe: /a/ 1 – 4x = 2x + 5,   /b/ 7y – 5 = 2x + 3,   /c/ 2 + 5z – 11 = 3z – 7 – 7z .

(3) Riješi jednadžbe: /a/ 2 (3x + 1) – 5 = x + 4,   /b/ 3x + 2(3 + 5x) – 7x = 4 – 5x,

                                    /c/ 2 [ x + 3 ( x – 7) – 5 (1 + x)] = 4 – (3x – 5)

(4.) Riješi jednadžbu   10 (2x + 3) – { 6(3x – 3) – [15(x – 6) – 12x + 72]} = 60.

(1) Metodom suspstitucije riješi sustave:

      /a/ x + 3y = - 2            /b/ - 3x + 2y = - 5                  /c/ 5x – 4y = - 7

          - 2x – y = - 1                0.5x – y = - 0.5                      - 2x – 3y = 12 

(2) Metodom suprotnih koeficijenata riješi sustave:

     /a/ 5x – 2y = - 13       /b/ 7x – 1.5 y = 16                /c/ 3x – 2y = - 2.5

          - x + 2y = 9                 4x + 3y = 13                        4x + 5y = - 11

(3) Riješi sustave:

   /a/ 6(4x – y – 3) = 5(4 – 2y) + 25x                        /b/ 10 (3x – y) + 17 – 4 (2x – y) = 5 (2x + y)

        2(2x – y + 1) + 16 = x + 2y                                    3 (5x – y) – 2 (x + y) = 51 – 7 (2x – y)

(1) Na brojevnom pravcu predočite točke: A (-3), B (5), C(0), D ( ½ ), E (- ¾ ), F (- 8.2).

(2) Predočite u koordinatnoj ravnini točke: A(2,3), B(- 3, 4), C (3, - 2), D(- 4, - 3), E (0, - 4).

(3) Nacrtaj graf funkcije: /a/ f (x) = 2x + 3, /b/ f(x) = - 3x + 1, /c/ f(x) = - 4x – 1.

(4) Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkama: /a/ A (3, 2), B (9,4),

                                                                                            /b/ C(- 4, - 2), D(1, 3)

*1* središte trokutu opisane kružnice – sjecište simetrala stranica trokuta

*2* središte trokutu upisane kružnice – sjecište simetrala kuta trokuta

*3* težište trokuta – sjecište težišnica (dužina kojoj je jedna krajnja točka vrh trokuta, a

                                                                  druga polovište nasuprotne stranice trokuta)

*4* ortocentar – sjecište visina (najkraća spojnica vrha trokuta i pravca koji sadrži

                                                   nasuprotnu stranicu, okomica iz vrha na suprotnu stranicu)